Как найти площадь треугольника

Вариации

S=14(a2+b2+c2)2−2(a4+b4+c4){\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}

S=142(a2b2+a2c2+b2c2)−(a4+b4+c4){\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}

S=14(a+b−c)(a−b+c)(−a+b+c)(a+b+c).{\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)}}.}

S=144a2b2−(a2+b2−c2)2.{\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}.}

• Формулу Герона можно записать с помощью определителя в виде:

  −16S2=|a2b21a2c21b2c21111|=|abcbaccabcba|{\displaystyle -16S^{2}={\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a&b&c&0\\b&a&0&c\\c&0&a&b\\0&c&b&a\end{vmatrix}}}

• Первый определитель последней формулы является частным случаем определителя Кэли — Менгера (англ.)русск. для вычисления гиперобъёма симплекса.

Аналоги формулы Герона

Имеются три формулы, по структуре аналогичные формуле Герона, но выражаемые в терминах других различных параметров треугольника.

• Первая формула выражает площадь через медианы, опущенные на стороны a, b и c, обозначенные соответственно через m_a, m_b и m_c, если их полусумма есть σ = (m_a + m_b + m_c)/2. Тогда мы имеем

  S=43σ(σ−ma)(σ−mb)(σ−mc).{\displaystyle S={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}.}

• Обозначим высоты, проведенные к сторонам a, b и c треугольника соответственно через h_a, h_b и h_c, а полусумму их обратных величин обозначим через H=(ha−1+hb−1+hc−1)2{\displaystyle H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2}. Тогда имеем

S−1=4H(H−ha−1)(H−hb−1)(H−hc−1){\displaystyle S^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}}

или в развернутом виде

S=1(1ha+1hb+1hc)(1hc+1hb−1ha)(1ha+1hc−1hb)(1ha+1hb−1hc){\displaystyle S={\frac {1}{\sqrt {({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}})({\frac {1}{h_{c}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1}{h_{a}}})({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{b}}})({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1}{h_{c}}})}}}}

Наконец, обозначим полусумму синусов углов треугольника через s = /2, тогда имеем

S=D2s(s−sin⁡α)(s−sin⁡β)(s−sin⁡γ).{\displaystyle S=D^{2}{\sqrt {s(s-\sin \alpha )(s-\sin \beta )(s-\sin \gamma )}}.}

Здесь через D обозначен диаметр описанной окружности треугольника: D=asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ.{\displaystyle D={\tfrac {a}{\sin \alpha }}={\tfrac {b}{\sin \beta }}={\tfrac {c}{\sin \gamma }}.}

Примеры

Эти примеры помогут вам лучше освоить тему:

Пример №1

Вычислить площадь ∆АВС, если a=10, в=20, c=30. Решение. Находим полупериметр: p=(10+20+30)/2=30. Теперь по формуле Герона: S=√(30•(30−10)•(30−20)•(30−30))=0, т. е. на самом деле мы имеем дело не с треугольником, а с отрезком, у которого с=а+b=10+20=30.

Пусть а=3, в=5, c=6, тогда p=(3+5+6)/2=7. Искомая площадь S=√(7•(7−3)•(7−5)•(7−6))=√(7•4•2•1)=√56≈7,48.

Пример №2

Найти угол γ между сторонами треугольника a и в из предыдущей задачи. Решение. S=(aв/2)•sin γ, sin γ=2S/(aв)=2•√56/(3•5)=0,99778, γ=arcsin 0,99778≈86°.

Пример №3

Пусть даны координаты вершин ∆ABC: А (1,2), В (-1,3), С (2,-5). Найти его площадь по одной из формул. Решение. Находим длины его сторон: AB=√((-1−1)²+(3−2)²)=√5, BC=√((2-(-1))²+(-5−3)²)=√73, AC=√((2−1)²+(-5−2)²)=√50. Тогда S=¼•√(4•5•73-(5+73−50)²)=¼•√676=26/4=6,5.

Пример №4

Периметр равностороннего треугольника численно равен его площади. Чему равна его сторона а? Решение. Так как периметр равностороннего треугольника равен Р=3а, а его площадь S=¼•a²√3, то приравняв эти равенства, получим: 3а=¼•а²√3. Решив это уравнение, найдем: а=4√3.

Пример №5

Площадь круга радиусом R равна площади равностороннего ∆ABC. Найти радиус круга. Решение. Площадь круга S=πR² по условию задачи равна площади равностороннего ∆ABC: πR²=¼•а²√3. Из этого соотношения находим: R=а√(√3)/(2√π)≈0,3713а.

Пример №6

Сторона и два прилежащих к ней угла в ∆ABC равны соответственно а=7, β=30°, γ=60°. Чему равна его площадь? Решение. S=½•7²/(ctg 30°+ctg 60°)=(49/2)/(√3+1/√3)=49√3/8≈10,61.

Годы жизни Герона

Годы жизни Герона в XX веке стали предметом дискуссии. Согласно античным источникам, он жил после Архимеда, но перед Паппом, то есть где-то между 200 годом до н. э. и 300 годом н. э. Некоторые историки XVIII—XIX веков указывали более конкретные даты в этом интервале, например, Бальди помещает Герона под 120 годом до н. э., а в ЭСБЕ указан год рождения Герона — 155 год до н. э..

В 1938 году Отто Нойгебауэр предположил, что Герон жил в I веке н. э. Это предположение было основано на том, что в его книге «О диоптре» упоминается лунное затмение, которое было замечено за 10 дней до весеннего равноденствия. Его указание, что оно произошло в Александрии в 5 часов ночи, однозначно указывает в интервале между 200 до н. э. и 300 н. э. на лунное затмение от 13 марта 62 года (юлианская дата). В последнее время датировка Нойгебауера была подвергнута критике Натаном Сидоли (Nathan Sidoli).

Литература

• Башмакова И. Г. Лекции по истории математики в Древней Греции // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1958. — № 11. — С. 425-426.
• Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в Древнем мире. М.: Наука, 1967.
• Гаврильчик М. В., Смирнова Г. С. Задачи неопределённого анализа у Герона Александрийского. Историко-математические исследования, 6(41), 2001, с. 319—329.
• Дильс Г. Античная техника. М.-Л.: ГТТИ, 1934.
• Зверкина Г. А. О трактате Герона Александрийского «О диоптре». Историко-математические исследования, 6(41), 2001, с. 330—346.
• Храмов Ю. А. Герон Александрийский (Heronus Alexandrinus) // Физики: Биографический справочник / Под ред. А. И. Ахиезера. — Изд. 2-е, испр. и дополн. — М.: Наука, 1983. — С. 81. — 400 с. — 200 000 экз. (в пер.)
• Шаль, Мишель. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. М., 1883 г. Гл. 1, n. 16 в Викитеке.
• Щетников А. И. Формула Герона: читаем древний математический текст // Математика. — 2006. — № 20 (610). — С. 27—28.
• Bruins E. M. The icosahedron from Heron to Pappus. Janus, 46, 1957, p. 173—183.
• Curchin L., Herz-Fishler R. Hero of Alexandria’s numerical treatment of division in extreme and mean ratio and its applications. Phoenix, 35, 1981, p. 129—133.
• Drachmann A. G. Ktesibios, Philon, and Heron, a study in ancient pneumatics. Copenhagen: Munksgaard, 1948.
• Drachmann A. G. Heron and Ptolemaios. Centaurus, 1, 1950, p. 117—131.
• Drachmann A. G. Fragments from Archimedes in Heron’s Mechanics. Centaurus, 8, 1963, p. 91-146.
• Keyser P. A new look at Heron’s «steam engine». Archive for History of Exact Sciences, 44, 1992, p. 107—124.
• Smyly J. G. Square roots in Heron of Alexandria. Hermathena, 63, 1944, p. 18-26.

Обобщения

где p=a+b+c+d2{\displaystyle p={\frac {a+b+c+d}{2}}} — полупериметр четырёхугольника. (Треугольник является предельным случаем вписанного четырёхугольника при устремлении длины одной из сторон к нулю. Например, при d=0)

• Та же Формула Брахмагупты через определитель:

  S=14−|abc−dba−dcc−dab−dcba|{\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}a&b&c&-d\\b&a&-d&c\\c&-d&a&b\\-d&c&b&a\end{vmatrix}}}}}

• Для тетраэдров верна формула Герона — Тарталья, которая обобщена также на случай других многогранников (см. изгибаемые многогранники): если у тетраэдра длины рёбер равны l1,l2,l3,l4,l5,l6{\displaystyle l_{1},l_{2},l_{3},l_{4},l_{5},l_{6}}, то для его объёма V{\displaystyle V} верно выражение

  144V2=l12l52(l22+l32+l42+l62−l12−l52){\displaystyle 144V^{2}=l_{1}^{2}l_{5}^{2}(l_{2}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{6}^{2}-l_{1}^{2}-l_{5}^{2})}+l22l62(l12+l32+l42+l52−l22−l62){\displaystyle +l_{2}^{2}l_{6}^{2}(l_{1}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{5}^{2}-l_{2}^{2}-l_{6}^{2})}+l32l42(l12+l22+l52+l62−l32−l42){\displaystyle +l_{3}^{2}l_{4}^{2}(l_{1}^{2}+l_{2}^{2}+l_{5}^{2}+l_{6}^{2}-l_{3}^{2}-l_{4}^{2})}−l12l22l42−l22l32l52−l12l32l62−l42l52l62{\displaystyle -l_{1}^{2}l_{2}^{2}l_{4}^{2}-l_{2}^{2}l_{3}^{2}l_{5}^{2}-l_{1}^{2}l_{3}^{2}l_{6}^{2}-l_{4}^{2}l_{5}^{2}l_{6}^{2}}.

• Предыдущая формула может быть выписана для тетраэдра в явном виде: Если U, V, W, u, v, w являются длинами ребер тетраэдра (первые три из них образуют треугольник; и , например, ребро u противоположно ребру U и т.д.), тогда справедливы формулы

  V=(−a+b+c+d)(a−b+c+d)(a+b−c+d)(a+b+c−d)192uvw{\displaystyle {\text{V}}={\frac {\sqrt {\,(-a+b+c+d)\,(a-b+c+d)\,(a+b-c+d)\,(a+b+c-d)}}{192\,u\,v\,w}}}

где

a=xYZb=yZXc=zXYd=xyzX=(w−U+v)(U+v+w)x=(U−v+w)(v−w+U)Y=(u−V+w)(V+w+u)y=(V−w+u)(w−u+V)Z=(v−W+u)(W+u+v)z=(W−u+v)(u−v+W).{\displaystyle {\begin{aligned}a&={\sqrt {xYZ}}\\b&={\sqrt {yZX}}\\c&={\sqrt {zXY}}\\d&={\sqrt {xyz}}\\X&=(w-U+v)\,(U+v+w)\\x&=(U-v+w)\,(v-w+U)\\Y&=(u-V+w)\,(V+w+u)\\y&=(V-w+u)\,(w-u+V)\\Z&=(v-W+u)\,(W+u+v)\\z&=(W-u+v)\,(u-v+W).\end{aligned}}}

Для прямоугольного треугольника

В случае треугольника с прямым углом формулы для нахождения площади будут немного отличаться. Найти S можно будет несколькими способами.

По двум сторонам

Если вам известны оба катета данной фигуры, рассчитать S можно умножив их друг на друга, а потом разделив на пополам:

\(S=\frac{a\times b}2\)

где a и b — катеты прямоугольного треугольника.

Через гипотенузу и острый угол

Зная длину гипотенузы и величину одного из острых углов, мы можем найти один из его катетов по определению косинуса. И уже потом можем использовать формулу для нахождения площади треугольника через две стороны и синус угла между ними.

Начнем с поиска катета:

\(\cos\left(\alpha\right)=\frac ac\)

\(a=c\times\cos\left(\alpha\right)\)

где c — гипотенуза треугольника, a — его катет, а α —угол между ними.

Подставляем получившееся значение в формулу \(S=\frac12a\times c\times\sin\alpha\), получается:

\(S=c^2\times\cos\left(\alpha\right)\times\sin\left(\alpha\right)\)

Через катет и прилежащий угол

В этом случае нужно будет использовать следующую формулу:

\(S=\frac12\times a^2\times\tan\left(\alpha\right)\)

Через радиус вписанной окружности и гипотенузу

Зная радиус вписанной в данную фигуру окружности и гипотенузу, мы можем использовать следующее уравнение для расчета:

\(S=r\times(r+c)\)

где r — радиус вписанной окружности, c — гипотенуза.

Через вписанную окружность

Радиус, опущенный в точку касания окружности и гипотенузы прямоугольного треугольника, делит эту гипотенузу на неравные отрезки. Если нам известны величины этих отрезков, мы можем найти площадь фигуры по формуле:

\(S=с_1\times с_2\)

где \(с_1\) и \(с_2\) — неравные отрезки гипотенузы.

По формуле Герона

Если мы знаем длины всех сторон данного многоугольника, мы можем рассчитать S по формуле Герона:

\(S=(p-a)\times(p-b)\)

где \(p=\frac{a+b+c}2\) — полупериметр фигуры.

Формула и доказательство

Формула Герона выглядит следующим образом:

\(S\;=\;\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)

где S – это площадь треугольника; a, b, c – это стороны треугольника; p – это полупериметр треугольника.

Чтобы вычислять полупериметр, нужно пользоваться формулой:

\(p\;=\;\frac{a+b+c}2\)

Приведем доказательство.

Для этого рассмотрим треугольник ABC.

\(\left|AB\right|=c,\;\left|BC\right|=a,\;\left|AC\right|=b\)

CH – высота треугольника.

\(\left|CH\right|=h,\;\left|AH\right|=x,\;\left|BH\right|=y\)

Тогда \(c=x+y\).

По теореме Пифагора из треугольников ACH и BCH получаем:

\(h^2=b^2-x^2=a^2-y^2\)

Из этого:

\(y^2-x^2=a^2-b^2\)

\((y-x)(y+x)=a^2-b^2\)

\(x+y=c\)

Соответственно:

\((y-x)c=a^2-b^2\) и \(y-x=\frac1c (a^2-b^2)\)

Если сложить последнее равенство с \(y+x=c\), то получается

\(y\;=\;\frac{c^2+a^2-b^2}{2c}\)

Найдем высоту треугольника.

\(h^2\;=\;a^2-y^2=\left(a-y\right)\left(a+y\right)=\left(a-\frac{c^2+a^2-b^2}{2c}\right)\left(a+\frac{c^2+a^2-b^2}{2c}\right)=\frac{2ac-c^2-a^2+b^2}{2c}\times\frac{2ac+c^2+a^2-b^2}{2c}=\frac{b^2-\left(a-c\right)^2}{2c}\times\frac{\left(a+c\right)^2-b^2}{2c}=\frac{\left(b-a+c\right)\times\left(b+a-c\right)}{2c}\times\frac{\left(a+c-b\right)\times\left(a+c+b\right)}{2c}\)

Так как \(p=\frac12\left(a+b+c\right)\), то \( b+c=2p-a\),\( a+b=2p-c\), \(a+c=2p-b\), \(a+b+c=2p\).

С помощью этих равенств найдем высоту.

\(h^2=\frac{\left(2p-2a\right)\left(2p-2c\right)\left(2p-2b\right)2p}{4c^2}=\frac{4p\left(p-a\right)\left(p-c\right)\left(p-b\right)}{c^2}\)

А так как \(S=\frac12ch\), то теорема доказана.

Как найти площадь любого треугольника

Посчитать площадь треугольника можно разными способами. Выбирайте формулу в зависимости от известных вам величин.

Зная сторону и высоту

1. Умножьте сторону треугольника на высоту, проведённую к этой стороне.
2. Поделите результат на два.

• S — искомая площадь треугольника.
• a — сторона треугольника.
• h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на сторону или её продолжение из противоположной вершины.

Зная две стороны и угол между ними

1. Посчитайте произведение двух известных сторон треугольника.
2. Найдите синус угла между выбранными сторонами.
3. Перемножьте полученные числа.
4. Поделите результат на два.

• S — искомая площадь треугольника.
• a и b — стороны треугольника.
• α — угол между сторонами a и b.

Зная три стороны (формула Герона)

1. Посчитайте разности полупериметра треугольника и каждой из его сторон.
2. Найдите произведение полученных чисел.
3. Умножьте результат на полупериметр.
4. Найдите корень из полученного числа.

• S — искомая площадь треугольника.
• a, b, c — стороны треугольника.
• p — полупериметр (равен половине от суммы всех сторон треугольника).

Зная три стороны и радиус описанной окружности

1. Найдите произведение всех сторон треугольника.
2. Поделите результат на четыре радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника.

• S — искомая площадь треугольника.
• R — радиус описанной окружности.
• a, b, c — стороны треугольника.

Зная радиус вписанной окружности и полупериметр

Умножьте радиус окружности, вписанной в треугольник, на полупериметр.

• S — искомая площадь треугольника.
• r — радиус вписанной окружности.
• p — полупериметр треугольника (равен половине от суммы всех сторон).

Как найти площадь прямоугольного треугольника

1. Посчитайте произведение катетов треугольника.
2. Поделите результат на два.

• S — искомая площадь треугольника.
• a, b — катеты треугольника, то есть стороны, которые пересекаются под прямым углом.

Как найти площадь равнобедренного треугольника

1. Умножьте основание на высоту треугольника.
2. Поделите результат на два.

• S — искомая площадь треугольника.
• a — основание треугольника. Это та сторона, которая не равняется двум другим. Напомним, в равнобедренном треугольнике две из трёх сторон имеют одинаковую длину.
• h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на основание из противоположной вершины.

1. Умножьте квадрат стороны треугольника на корень из трёх.
2. Поделите результат на четыре.

• S — искомая площадь треугольника.
• a — сторона треугольника. Напомним, в равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину.

Формула Герона

Эта формула позволяет вычислить площадь треугольника по его сторонам а, b и с:S=√(р(р-а)(р-b)(р-с),где р — полупериметр треугольника, т.е. р = (а + b + с)/2. Формула названа в честь древнегреческого математика Герона Александрийского (около I в.). Герон рассматривал треугольники с целочисленными сторонами, площади которых также являются целыми числами. Такие треугольники называют героновыми. Например, это треугольники со сторонами 13, 14, 15 или 51, 52, 53.Существуют аналоги формулы Герона для четырехугольников. В связи с тем, что задача  на построение четырехугольника по его сторонам а, Ь, с и d имеет не единственное решение, для вычисления в общем случае площади четырехугольника недостаточно только знания длин сторон. Приходится вводить дополнительные параметры или накладывать ограничения. Например, площадь вписанного  четырехугольника находится по формуле: S=√(р-а)(р-b)(р-с)(p-d)Если же четырехугольник и вписанный, и описанный одновременно, его площадь находится по более простой формуле: S=√(abcd).

Герон Александрийский — греческий математик и механик. Он первым изобрёл автоматические двери, автоматический театр кукол, автомат для продаж, скорострельный самозаряжающийся арбалет, паровую турбину, автоматические декорации, прибор для измерения протяжённости дорог (древний одометр) и др. Первым начал создавать программируемые устройства (вал со штырьками с намотанной на него верёвкой).Занимался геометрией, механикой, гидростатикой, оптикой. Основные произведения: Метрика, Пневматика, Автоматопоэтика, Механика (произведение сохранилось целиком в арабском переводе), Катоптрика (наука о зеркалах; сохранилась только в латинском переводе) и др. В 1814 году было найдено сочинение Герона «О диоптре», в котором изложены правила земельной съёмки, фактически основанные на использовании прямоугольных координат. Герон использовал достижения своих предшественников: Евклида, Архимеда, Стратона из Лампсака. Многие из его книг безвозвратно утеряны (свитки содержались в Александрийской библиотеке). В трактате «Механика»  Герон описал пять типов простейших машин: рычаг, ворот, клин, винт и блок. В трактате «Пневматика» Герон описал различные сифоны, хитроумно устроенные сосуды, автоматы, приводимые в движение сжатым воздухом или паром. Это эолипил, представлявший собой первую паровую турбину — шар, вращаемый силой струй водяного пара; автомат для открывания дверей, автомат для продажи «святой» воды, пожарный насос, водяной орган, механический театр марионеток. В книге «О диоптре» описан диоптр — простейший прибор, применявшийся для геодезических работ. Герон излагает в своём трактате правила земельной съёмки, основанные на использовании прямоугольных координат. В «Катоптрике» Герон обосновывает прямолинейность световых лучей бесконечно большой скоростью их распространения

 Герон рассматривает различные типы зеркал, особое внимание уделяя цилиндрическим зеркалам.«Метрика» Герона и извлечённые из неё «Геометрика» и «Стереометрика» представляют собой справочники по прикладной математике. Среди содержащихся в «Метрике» сведений:

• Формулы для площадей правильных многоугольников.

• Объёмы правильных многогранников, пирамиды, конуса, усечённого конуса, тора, шарового сегмента.

• Формула Герона для расчёта площади треугольника по длинам его сторон (открытая Архимедом).

• Правила численного решения квадратных уравнений.

• Алгоритмы извлечения квадратных и кубических корней.

Книга Герона «Определения» представляет собой обширный свод геометрических определений, по большей части совпадающих с определениями «Начал» Евклида.

Главная | Геометрия и искусство | Плоские фигуры | Пространственные фигуры | Движения и преобразования | Орнаменты и стили | Доклад | Разное | Галерея | Главная Карта Сайта

Задачи на применение формулы Герона

Задача 2

Дан , его основание , боковые стороны  и  соответственно . Точка , лежащая внутри треугольника, находится на расстоянии  от стороны  и  от стороны . Найти расстояние от точки  до стороны  (см. Рис. 4).

Решение

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

Рассмотрим треугольник : в нём – высота. Обозначим: . Тогда: .

Найдём площадь треугольника .

Для начала найдём площадь треугольника  через формулу Герона:

.

Теперь вычислим площадь треугольника : .

Площадь треугольника: : .

Теперь, учитывая следующее соотношение: , получаем: .

Теперь найдём расстояние от точки  до стороны : .

Ответ: .

ИСТОЧНИК

http://x-uni.com/geometriya/8-klass/video/formula-gerona-dlya-nahozhdeniya-ploschadi-treugolnika

https://www.youtube.com/watch?v=zp82OIuz93g

http://v.5klass.net/zip/823d1fb40b3ed49403a117ef8517c666.zip

http://kak-kak2.ru/img/605c9fb504028311913e985a5ea8d1e1.jpg

http://hijos.ru/2012/10/03/formula-gerona/

http://www.calc.ru/Formula-Gerona.html

Вывод формул для площади равностороннего треугольника

      Утверждение 7.

1. Если a – сторона равностороннего треугольника, то его площадь

Если h – равностороннего треугольника, то его площадь

Если r – радиус , то его площадь

Если R – радиус около равностороннего треугольника окружности, то его площадь

      Доказательство.

1. Рассмотрим рисунок 7.

Рис. 7

В силу утверждения 2

Рассмотрим рисунок 8.

Рис. 8

Поскольку

то

Рассмотрим рисунок 9.

Рис. 9

Поскольку у равностороннего треугольника , то .  Следовательно,

Рассмотрим рисунок 10.

Рис. 10

Поскольку у равностороннего треугольника центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, высот и биссектрис, то выполнено равенство Следовательно,

      Доказательство утверждения 7 завершено.